Raúl Pavlov Galora De Mora 1710717578 Articulo ejercicios guía completo para administración en el estudio de la recta numérica y su aplicación Notas del Autor Raúl Pavlov Galora De Mora Universidad Tecnológica Indoamerica Facultad de Administración Bolívar 2035 y Guayaquil ,593 32421 452 ext, 127, 135 Ambato Ecuador raulgalora@uti.edu.ec , raulgalora@gmail.com , 0996500308, 1 agosto 2017 Resumen El presente trabajo es un resumen de ejercicios de aplicación o guías de aprendizaje en diferentes temas como se aplica la geometría analítica, los logaritmos, los límites, las derivadas, la integral definida. Ejercicio completo Dados los puntos resolver, graficar en el software geogebra. La distancia entre puntos AB, BC, AC Las áreas por Herón y el determinante Pendiente de la línea Ecuación de la recta Los ángulos internos Puntos medios Introducción En el siguiente proceso de construcción del presente libro guía para estudiantes de primer semestre de Matemáticas Elemental se considera una síntesis de diferentes visiones, pragmáticas y naturalistas, en donde este modelo considera que el estudiante alcanza un aprendizaje significativo cuando resuelve problemas de la vida real aplicando diferentes conceptos y herramientas matemáticas elementales. Es decir se presenta un problema de la vida real con diferentes grados de dificultad, el alumno interpreta y lo soluciona a través del lenguaje de términos, expresiones algebraicas o funciones, modelos, gráficos, entre otros plantea acciones, técnicas, algoritmos, alrededor de conceptos, definiciones o reglas de uso, utiliza propiedades, conceptos y acciones con argumentación y verificación, resuelve el problema, juzga la validez de su resultado y lo interpreta. Junto a una visión epistemológica se planea una visión pedagógica que se debe tener en cuenta en la organización de la enseñanza, según la cual el alumno es el protagonista del proceso educativo matemático que favorecen la meta cognición como la resolución de problemas que implican exploración de posibles soluciones, modelación de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicación de técnicas, los estudiantes deben tener la posibilidad de plantear, explorar y resolver con un esfuerzo significativo. Representación , que refiere a usos, recursos verbales, simbólicos y gráficos y a la traducción de los mismos , el lenguaje es esencial para comunicar interpretaciones y soluciones y utilizar recursos de las tecnologías para su verificación como es el (geogebra) el software nos permite realizar estos cálculos y por medio de un gráfico podemos darnos cuenta lo que estamos comprobando. Verificaciones, por suma y resta, igualación, sustitución, por determinante, por gráfico El estudiante debe presentar una enunciación clara y correcta, sea esta manual, pero es necesario tener en cuenta cualquier demostración lo principal que sea correcta comprensible y sencilla. Claro está que el círculo lógico en los razonamientos es inadmisible. Conviene subrayar que todas las demostraciones deber ser exhaustivas, hay que aclarar completamente cada afirmación. Es un método propio de cómo se grafican los vectores, sus líneas, sus áreas, sus ángulos, sus ecuaciones de la recta, sus verificaciones, sus puntos medios anotar los siguientes puntos: Distancia entre puntos Su fórmula es distancia AB= √((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) BC= √((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) AC= √((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) Si utilizamos vectores esta fórmula sería la indicada Las áreas por Herón y el determinante La fórmula de Herón Necesitamos el perímetro que es la suma de sus lados = AB+BC+AC = dividimos para 2 y tenemos el semi perímetro = p/2 Área = √(p/2 (p/2-AB)(P/2-BC)(P/2-AC)) El determinante es el área para verificar Da= = 1/2 (AD CG FB CB FD AG) = Ilustración 1 Fórmula Del área por determinante Pendiente de la línea Su fórmula es m= (y_2-y_1)/(x_2-x_1 ) Ecuación de la recta Ecuación de la recta = (y_2- y_1)=m( x_2-x_1) Los ángulos internos Tan A = (m_1- m_2)/(1+ 〖(m〗_1)( m_2)) Puntos medios X= (( x_1+x_2))/2 ; y= (( y_1+y_2))/2 Empezamos a resolver si tenemos los vectores 1…A (12,9) B (-4,3) C (8,-5) Graficar en el cuaderno de 100 hojas a cuadros en cada ejercicio debe tener el nombre del alumno y la fecha que trabajo que luego deben subir como deberes en la plataforma. Para poder descargar www.goegebra.org vamos a descargar y escogemos el sistema Windows que tienen la mayoría u otro de acuerdo al ordenador, para personas que están a distancia o personas que necesitan realizar este cálculo. Gráfico 1: Puntos y vectores hecho en GeoGebra Distancia entre puntos AB Fórmula = 〖d AB〗^ =√((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) D AB = √(( 3-9)^2+(-4-12)^2 ) D AB =√(( 6)^2+(-16)^2 ) D AB =√(36+256) D AB = √292 D AB = 17,08 m Distancia entre puntos BC Fórmula = 〖d BC〗^ =√((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) D BC =√(( 5-3)^2+(8+4)^2 ) D BC =√(( 2)^2+(12)^2 ) D BC =√(( 4+144) D BC = √148 D BC = 12,16 m Distancia entre puntos AC Fórmula = 〖d AC〗^ =√((y_2-y_1 )^2+(x_2-x_1 )^2 ) D AC =√(( -5-9)^2+(8-12)^2 ) D AC =√(( -14)^2+(-4)^2 ) D AC =√(196+16) D AC = √212 D AC = 14,56 m Son las distancias como el Gráfico 1 ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 46.07 SEMI PERÍMETRO = 23.04 Área por Herón = √(23.04(23.04-17.09)(23.04-14.56)(23.04-14.42)) = 100.39 m^2 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE Nos permite saber el área de la figura triangular (Francis , 2012, págs. 15-20) A |■(12&9@-4&3)| |■(8&-5@12&9)| = 1/2 (36+20+72 +36-24+60) = 200/2 = 100 m^2 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES (Hernandez , Vasquez , & Zurro , 2012, pág. 42) Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (3-9)/(-4-12) = (-6)/(-16) = 6/16= 3/8 = 20° 33´ 21.76 ´´ Pendiente BC m BC = = (-5-3)/(8+4) = (-8)/12 = 2/3 = 33° 41´ 24.24 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-5-9)/(8-12) = (-14)/(-4) = 7/2 = 74° 3 ´ 16.57 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Fórmula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Remplazamos los valores en la fórmula Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 9) = 3/8 (x- 12) 8y -72 = 3x -36 3x -8y -36 +72 =0 3x -8y +36=0 Gráfico 2: como se plantea en la fórmula Calculo ecuación de la recta BC ( y + 4) = 2/3 ( x + 3) 3y-9 = -2x -8 -2x -3y -8+9= 0 -2x -3y +1 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +5) = 7/2 ( x - 8) 2y-10 = 7x +56 7x -2y +56+10=0 7x -2y +66 = 0 También podemos cambiar de signo por ejemplo 7x -2y +66 = 0 (-1) = -7x +2y -66 = 0 LOS ÁNGULOS INTERNOS Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((3/8) -((-2)/3) )/(1+(3/8)((-2)/3) )= (25/24)/(3/4) = 25/18 = 54° 14 ´ 46.01 ´´ Tan B = (((-2)/3) -(7/2) )/(1+((-2)/3)(7/2) )= ((-25)/6)/(4/3) = 25/8 = -72° 15 ´ 19.18 ´´ Resolver Tan C = / = / = / = 53° 29 ´ 54.81 ´´ la suma de los ángulos son : __________________________________________________________ PUNTOS MEDIOS De los puntos A(12,9) B(-4,3) C(8,-5) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((12-4 ) )/2= 8/2 =4; y= ((9+3) )/2= 12/2 = 6 d (4,6) X= ((-4+8) )/2= 4/2 = 2; y= ((3-5) )/2= 2/2 = 1 e(2,1) X= ((12+8) )/2= 20/2 = 10; y= ((3-5) )/2= 2/2 = 1 f( 10,1) VERIFICACIONES, POR SUMA Y RESTA 3x -8y +36 =0 -2x - 3y +1 =0 6x -16 y +72 = 0 -6x -9y +3 = 0 0 + 25y +75=0 25y= -75 Y=3 3x -8y +36 =0 3x – 8(3) +36=0 3x -24+36=0 3x+12=0 3x=-12 X= -12/3 = -4 B(-4,3) Verificación por suma y resta 3x +8y -36 =0 -7x - 2y +66 =0 -6x +16 y -72 = 0 56x - 16y +528 = 0 50x - +456=0 -50y= -456 Y= 9 3x -8y +36 =0 3x – 8(9) +36=0 3x -72+36=0 3x-36=0 3x=36 X= 36/3 = 12 A (12,9) Verificación por suma y resta -7x +2y +66 =0 -2x - 3y +1 =0 -21x -6 y +198 = 0 -4x -6y +2 = 0 -25x + +200=0 -25x= -200 x=8 -7x +2y -66 =0 -7(8) – 2y +66=0 56 –2y-66=0 2y+10=0 2y=-10 X= -10/2 = 5 B(8,-5) -3x+8y-36=0 -7x+2y+66=0 2x+3y-1=0 Puntos medios Gráfico 3 Ángulos, puntos medios, vectores Ejercicio 2… A (12,10) B (-4,4) C (8,-6) Graficar en el cuaderno de en cada ejercicio debe tener el nombre del alumno y la fecha que trabajo que luego deben subir como deberes en la plataforma Distancia entre puntos AB D AB = √(( 4-10)^2+(-4-12)^2 ) D AB =√(( -6)^2+(-16)^2 ) D AB =√(36+256) D AB = √292 D AB = 17,08 Distancia entre puntos BC D BC =√(( 6-4)^2+(8+4)^2 ) D BC =√(( 2)^2+(12)^2 ) D BC =√(( 4+144) D BC = √148 D BC = 12,16 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -6-10)^2+(8-12)^2 ) D AC =√(( -16)^2+(-4)^2 ) D AC =√(256+16) D AC = √272 D AC = 16,49 Son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 45.73 SEMI PERÍMETRO = 22.87 Área por Herón = √(22.87(22.87-17.08)(22.87-12.16)(22.87-16.49)) = 116 m^2 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(12&10@-4&4)| |■(8&-6@12&10)| = 1/2 ( 48+24+80 +40-32+72) = 232/2 =116 m^2 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (4-10)/(-4-12) = (-6)/(-16) = 6/16= 3/8 = 20° 33´ 21.76 ´´ Pendiente BC m BC = = (-6-4)/(8+4) = (-10)/12 = 5/6 = 39° 48´ 20.06 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-6-10)/(8-12) = (-16)/(-4) = 4 = 75° 57 ´ 49.52 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 10) = 3/8 (x- 12) 8y -80 = 3x -36 3x -8y -36 +80 =0 3x -8y +44=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y - 4) = 5/6 ( x + 4) 6y-36 = 5x +20 5x -6y -36-20= 0 5x -6y +56 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +5) = 7/2 ( x - 8) 2y-10 = 7x +56 7x -2y +56+10=0 7x -2y +66 = 0 También podemos cambiar de signo por ejemplo 7x -2y +66 = 0 (-1) = -7x +2y -66 = 0 Gráfico 4 Las rectas y los vectores Ejercicio 3…A (10,8) B(-5,6) C(8,-6) Distancia entre puntos AB D AB = √((-5-10)^2+(6-8)^2 ) D AB =√((- 15)^2+(-2)^2 ) D AB =√(225+4) D AB = √229 D AB = 15,13 Distancia entre puntos BC D BC =√(( -5-7)^2+(6+1)^2 ) D BC =√(( -12)^2+(7)^2 ) D BC =√(144+49) D BC = √193 D BC = 13,89 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -7-10)^2+(-1+8)^2 ) D AC =√(( -3)^2+(7)^2 ) D AC =√(9+49) D AC = √58 D AC = 7,61 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 36,64 SEMI PERÍMETRO = 18,32 Área por Herón =√(█(19,26(19,26-15,13)(19,26-13,89)(19,26@-9,49))) =√(19.26(4,125)(5.37)(9.77) ) = 64,561 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(10&8@-5&6)| |■(7&-1@10&8)| = 1/2 (60+5+56 +40-42+10) = 129/2 =64,5 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (6-8)/(-5-10) = (-2)/(-15) = 2/15= 2/15 = 7° 35´ 40.72 ´´ Pendiente BC m BC = = (-1-6)/(7+5) = (-7)/12 = (-7)/12 = -30° 15`23.17`` Pendiente AC m AC = = = (-1-8)/(7-10) = (-9)/(-3) = 3 = 71° 33 ´ 54.18 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 8) = 2/15 (x- 10) 15y -120 = 2x -20 2x -15y -20 +120 =0 2x -15y +100=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y - 6) = (-7)/12 ( x + 5) 12y-72 = -7x -35 -7x -12y -35+72= 0 -7x -12y +37 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +1) = 3 ( x - 7) Y+1 = 3x -21 3x -y -1+-21=0 3x -y -22 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((2/15) -((-7)/12) )/(1+(2/15)((-7)/12) )= (43/60)/(83/90) = 129/166 = 37° 51 ´ 3.89 ´´ Tan B = (((-7)/12) -(3/1) )/(1+((-7)/12)(3/1) )= (43/12)/((-3)/4) = 43/9 = 78° 10 ´ 42.64 ´´ Tan C = / = / = / = 63 ° 58 ´ 13.47 ´´ Puntos medios De los puntos A(12,10) B(-8,4) c(4,-8) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 =; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((12-8 ) )/2= 4/2 =2; y= ((10+4) )/2= 14/2 = 7 d (2,7) X= ((-8+4) )/2= (-4)/2 = -2; y= ((4-8) )/2= (-4)/2 = 2 e (-2,2) X= ((12+4) )/2= 16/2 = 8; y= ((10-8) )/2= 2/2 = 1 f ( 8,1) Verificaciones, por suma y resta -3x + 10y -64 =0 -9x +4y +68 =0 -27x +90 y -576 = 0 27x -12y -204 = 0 0 +78y -780=0 78y= 780 Y=10 -9x +40+68 =0 -9x +108=0 -9x=-108 X= 108/9 = 12 A(12,10) Verificación por suma y resta -3x +10y -64 =0 x +y +4 =0 -3x +10 y -64 = 0 3x +3y +12 = 0 +13 y -52=0 13y= 52 Y= 4 x.+y +4 =0 x +4+4=0 x.+8=0 x=-8 C (-8,4) Resolver Verificación por suma y resta -9x +4y +68 =0 x + y +4 =0 -9x +4 y +68 = 0 9x + 9 y +36 = 0 13y +104 =0 13y = -104 y= -8 -9x+4*8+68=0 -9x+ 36 =0 -9x= -36 x= 4 B (4 , -8 ) Puntos medios Gráfico: 5 Ángulos internos Ejercicio 4 4…A(11,8) B(-5,6) C(7,-2) Distancia entre puntos AB D AB = √(( 11+5)^2+(8-6)^2 ) D AB =√(( 16)^2+(2)^2 ) D AB =√(256+4) D AB = √260 D AB = 16,12 Distancia entre puntos BC D BC =√(( 17-5)^2+(-2-6)^2 ) D BC =√(( 12)^2+(-8)^2 ) D BC =√(( 144+64) D BC = √208 D BC = 14,42 Distancia entre puntos AC D AC =√(( 7-11)^2+(-2-8)^2 ) D AC =√(( -4)^2+(-10)^2 ) D AC =√(16+100) D AC = √116 D AC = 10,77 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 41.31 SEMI PERÍMETRO = 20.66 Área por Herón = √(20.66(20.66-16.12)(20.66-14.31)(20.66-10.77)) = 77.02 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(11&8@-5&6)| |■(7&-2@11&8)| = 1/2 (66+10+56 +40-42+22) = 152/2 =76 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (6-8)/(-5-11) = (-2)/(-16) = 2/16= 1/8 = 7° 7´ 30.06 ´´ Pendiente BC m BC = = (-2-6)/(7+5) = (-8)/12 = (-2)/3 = -33° 41´ 24.24 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-2-8)/(7-11) = (-10)/(-4) = 5/2 = 68° 11 ´ 54.93 ´´ __________________________________________________________________________ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 8) = 1/8 (x- 11) 8y -64 = x -11 x -8y +11 +64 =0 x -8y +75=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y -6) = -2/3 ( x + 5) 3y-18 = -2x -10 -2x -3y +18-10= 0 -2x -3y +8 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y -8) = 5/2 ( x - 11) 2y-16 = 5x +55 5x -2y +55+16=0 5x -2y +71 = 0 También podemos cambiar de signo por ejemplo 5x -2y +71 = 0 (-1) = -5x +2y -71 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((5/2) -(1/8) )/(1+(5/2)((-1)/8) )= (19/8)/(11/16) = 33/11 = 73° 51 ´ 20.38 ´´ Tan B = ((1/8) -((-2)/3) )/(1+(1/8)((-2)/3) )= (19/24)/(11/12) = 19/22 = 40° 48 ´ 54.3 ´´ Resolver Tan C = / = / = / = 65° 19 ´ 45.32 ´´ Puntos medios De los puntos A(11,8) B(-5,6) C(7,-2) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((11-5 ) )/2= 6/2 =3; y= ((8+6) )/2= 14/2 = 7 d (4,6) X= ((-5+7) )/2= 2/2 = 1; y= ((6-2) )/2= 4/2 = 2 e(1,2) X= ((11+7) )/2= 6/2 = 3; y= ((8-2) )/2= 6/2 = 3 f( 3,3) Verificaciones, por suma y resta x -8y +53 =0 x=8y-53 2x +3y -8 = 0 2(8y-53) +3y = 8 16y -106+3y=8 19y= 114 Y=6 x -8y +53 =0 x – 8(6) +53=0 x -48+53=0 x+53=0 X= -5 = -5 B(-5,6) Verificación por suma y resta 2x +3y -8 =0 -5x + 2y +39 =0 10x +15 y -40 = 0 -10x + 4y +78 = 0 19y +38=0 19y= -38 Y= - 2 -5x +2y +39 =0 -5x +2(-2) +39=0 -5x -4+39=0 -5x-35=0 -5x=35 X= 35/-5 = -7 B (-7,-2) Verificación por suma y resta -x +8y -53 =0 2x + 3y -8 =0 -2x +16 y -106 = 0 2x +3y -8 = 0 19y -114=0 19y= 114 y=6 2x +3y -8 =0 2x+(18) – 8=0 2x+10=0 2x=-10 X= -10/2 =- 5 B(-5,6) Gráfico 6 Gráfico de los puntos A, B, C 5…A (10,8) B(-5 ,6) C(7,-3) Gráfico 7 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 11+5)^2+(8-6)^2 ) D AB =√((16)^2+(-2)^2 ) D AB =√(256+4) D AB = √260 D AB = 16,12 Distancia entre puntos BC D BC =√(( 7+5)^2+(-3-6)^2 ) D BC =√(( 12)^2+(-9)^2 ) D BC =√(( 144+81) D BC = √225 D BC = 15 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -7-11)^2+(-3-8)^2 ) D AC =√(( -4)^2+(-11)^2 ) D AC =√(16+121) D AC = √137 D AC = 11,70 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 42.82 SEMI PERÍMETRO = 21.41 Área por Herón = √(21.41 (21.41 -16.12)(21.41 -15)(21.41 -11.70)) = 84 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(11&8@-5&6)| |■(7&-3@11&8)| = 1/2 (66+15+56 +40-42+33) = 168/2 =84 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (8-6)/(-4-12) = (-2)/(-16) = 2/16= 1/8 = 7° 7´ 30.06 ´´ Pendiente BC m BC = = (-3-6)/(7+5) = (-9)/12 = (-3)/4 = -36° 52´ 11.63 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-3-8)/(7-11) = (-11)/(-4) = 11/4 = 70° 1 ´ 0.82 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 8) = 1/8 (x- 11) 8y -64 = x -11 x -8y +64 -11 =0 x -8y +53=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y - 6) = (-3)/4 ( x + 5) 4x-24 = -3x -15 -3x -4y -15+24= 0 -3x -4y +9 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +3) = 11/4 ( x -7) 4y+12 = 11x -77 11x -4y -77-12=0 11x -4y +89 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((1/8) -((-3)/4) )/(1+(1/8)((-3)/4) )= (7/8)/(29/32) = 28/29 = 43° 59 ´ 41.69 ´´ Tan B = (((-3)/4) -(11/4) )/(1+((-3)/4)(11/4) )= ((-7)/2)/((-17)/16) = 56/17 = -73° 6 ´ 47.55 ´´ Tan C = / = / = / = 62° 53 ´ 30.76 ´´ Puntos medios De los puntos A (11,8) B(-5,6) C(7,-3) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((11-5 ) )/2= 6/2 =3; y= ((8+6) )/2= 14/2 = 7 d (3,7) X= ((-5+7) )/2= 2/2 = 1; y= ((6-3) )/2= 3/2 = 1.5 e(1,1.5) X= ((11+7) )/2= 18/2 = 9; y= ((8-3) )/2= 5/2 = 2.5 f( 9,2.5) Verificaciones, por suma y resta -x +8y -53 =0 -11x +4y +89 =0 -4x +32 y -212 = 0 88 x -32y -712 = 0 - 84x +924=0 -84x= -924 x=11 -11x +4y+ 89 =0 -11(11) +8y +89=0 121 +8y-53=0 +8y +121-53=0 8y=64 X= 64/8 = 8 A (11,8) Verificación por suma y resta 3x +4y -9 =0 -x +8y -53 =0 3x +4 y -9 = 0 -3x + 24y -159 = 0 28y +168=0 -28y= -168 Y= 6 -x +8y -53 =0 -x +8(6) -53=0 -x -48+53=0 -x+5=0 X= -5 = -5 B (-5,6) Verificación por suma y resta -3x +4y -9 =0 X= (9-4y)/3 11x -4 y -89 = 0 11((9-4y)/3) -4y -89 = 0 99-44y -12y=267 -56y= 168 y=-3 x= (9-4(-3))/3 3x= 9+12 3y=21 X= 7 C (7,-3) Gráfico 8 Gráfico de los puntos A, B, C 6…A(10,11) B(-5.25 ,6.25) C(8,-12) Gráfico 9 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 6.25-11)^2+(-5.25-10)^2 ) D AB =√((-4.75)^2+(-15.25)^2 ) D AB =√(22.565+232.562) D AB = √225.124 D AB = 15.97 Distancia entre puntos BC D BC =√(( -12-6.25)^2+(8+5.25)^2 ) D BC =√(( -18.25)^2+(13.25)^2 ) D BC =√(( 333.062+175.5621) D BC = √508.624 D BC = 22.55 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -12-11)^2+(8-10)^2 ) D AC =√(( -23)^2+(-2)^2 ) D AC =√(529+4) D AC = √533 D AC = 23.08 Son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 42.82 SEMI PERÍMETRO = 21.41 Área por Herón = √(21.41 (21.41 -16.12)(21.41 -15)(21.41 -11.70)) = 84 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(10&11@-5.25&6.25)| |■(8&-12@10&11)| = 1/2 (62.5+63+88 +57.75 -50+120) = 341.25/2 =171 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (6.25-11)/(-5.25-10) = (-4.75)/(-15.25) = (-4.75)/(-15.25)= 19/61 = 17° 18´ 1.9 ´´ Pendiente BC m BC = = (-12-6.25)/(8+5.25) = (-18.25)/13.25 = (-73)/53 = -54° 1´ 9.56 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-12-11)/(8-10) = (-23)/(-2) = 23/2 = 85° 1 ´ 48.93 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 11) = 4.75/13.25 (x- 10) 15.25y -167.75 = 4.75x -47.50 4.75x -15.25y -47.50+167.75 =0 4.75x -15.25y +120.25=0 Calculo ecuación de la recta BC (y - 6.25) = (-73)/53 (x + 5.25) 53y-331.25 = -73x -383.25 -73x -53y -383.25+33.25= 0 -73x -53y-52 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +12) = 23/2 ( x -8) 2y+24 = 23x -184 23x -2y -24-184=0 23x -2y -208 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((19/61) -(23/2) )/(1+(19/61)(73/53) )= ((-13657)/122)/(5.54/132) = 103/43 = 67° 20 ´ 26.33 ´´ Tan B = ((19/61)+(73/53) )/(1+(19/61)(73/53) )= ((-3446)/3233)/(143/100) = 210/71 = -71° 19 ´ 11.46 ´´ Tan C = / = / = / = 40° 57 ´ 7.8 ´´ Puntos medios De los puntos A (10,11) B (-5.25 ,6.25) C(8,-12) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((10-5.25 ) )/2= 4.75/2 =2.38; y= ((12+6.25) )/2= 17.25/2 = 8.63 d (2.38, 8.63) X= ((-5.25+8) )/2= 2.75/2 = 1.38; y= ((6.25-12) )/2= 5.75/2 = -2.38 e(1.38,-2.38) X= ((10+8) )/2= 18/2 = 9; y= ((11-12) )/2= (-1)/2 = -0.5 f( 9,0.5) Verificaciones, por suma y resta 14x -61y +421 =0 -13x -33y -52 =0 -1674x -1214 y -1146 = 0 1674 x -146y -15184 = 0 -1365y -16380=0 -1365y= 16380 y=12 -73x -53(12)-52 =0 -73x+636-52 =0 73x +584 =0 -73x = -584 X= 584/73 = 8 A (12,8) Verificación por suma y resta -73x -53y -52 =0 23x -2y -208 =0 -1674x -1214 y -1146 = 0 1674x - 146y -15184 = 0 -1365y -16380=0 -1365y= -16380 Y= 12 -73x -53(12) -52 =0 -73x +636 -52=0 -73x+584=0 x=8 B (8,-12) Verificación por suma y resta 23x -2y -208 =0 14x -61y +481 =0 437x -38 y -3452 = 0 -437x +1405y -11063 = 0 1365y -1500=0 1365y= 1500 y=11 23x –2(11) -208=0 23x-22-108=0 23x=-230 X= 10 C (10,11) 7…A (8,9) B(-3,4) C(5,-3) Grafico 10 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 4-9)^2+(-3-8)^2 ) D AB =√((-5)^2+(-11)^2 ) D AB =√(25+121) D AB = √146 D AB = 12,08 Distancia entre puntos BC D BC =√((-3-9)^2+(5+3)^2 ) D BC =√(( -9)^2+(8)^2 ) D BC =√(( 49+64) D BC = √113 D BC = 10.63 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -3-9)^2+(5-8)^2 ) D AC =√(( -12)^2+(-3)^2 ) D AC =√(144+9) D AC = √153 D AC = 12,37 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 42.82 SEMI PERÍMETRO = 21.41 Área por Herón = √(17.54 (17.54 -12.08)(17.54 -10.63)(17.54 -12.37)) = 58.49 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(8&9@-3&4)| |■(5&-3@8&9)| = 1/2 (27-20+24 +32+9+45) = 117/2 =58.50 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (4-9)/(-3-8) = (-5)/(-11) = 5/11= 5/11 = 24° 26´ 38.24 ´´ Pendiente BC m BC = (-3-4)/(5+3) = (-7)/8 = (-7)/8 = -41° 11´ 09.33 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-3-9)/(5-8) = (-12)/(-3) = 12/3 = 75° 57 ´ 49.52 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 9) = 5/11 (x- 8) 11y -99 = 5x -40 5x -11y -40+99 =0 5x -11y +59=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y - 4) = (-7)/8 ( x + 3) 8y-32 = -7x -21 -7x -8y -21+32= 0 -7x -8y +11 =0 Calculo ecuación de la recta AC (y +3) = 4 (x -5) y+3 = 4x -20 4x -y -20-3=0 4x -y -23 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((5/11) -(4) )/(1+(5/11)(4) )= ((-39)/11)/(31/11) = (-39)/31 = -51° 31 ´ 11.29 ´´ Tan B = ((5/11) -((-7)/8) )/(1+(5/11)((-7)/8) )= (117/88)/(53/88) = 117/53 = 31° 3 ´ 33.87 ´´ Tan C = / = / = / = 97° 25 ´ 14.84 ´´ Puntos medios De los puntos A (8,9) B(-3,4) C(5,-3) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((8-3 ) )/2= 5/2 =2.5; y= ((9+4) )/2= 13/2 = 6.5 d (2.5 ,6.5) X= ((-3+5) )/2= 2/2 = 1; y= ((4-3) )/2= 1/2 = 0.5 e(1, 0.5) X= ((8+5) )/2= 13/2 = 6.5; y= ((9-3) )/2= 6/2 = 3 f( 6.5 ,3) Verificaciones, por suma y resta -7x -8y +11 =0 4x - y -23 =0 -28x -32 y +44 = 0 28 x -7y -161 = 0 -39y -117=0 -39x= 117 x=-3 -7(-3) +8y +11=0 21 +8y+11=0 +8y +32=0 8y=32 y= 4 A (-3,4) Verificación por suma y resta 5x -11y +59 =0 -7x -8y +11 =0 35x -77 y +413 = 0 -35x - 40y +55 = 0 -117y +468=0 -117y= -468 Y= 4 5x -11y +59 =0 5x -11(4)+59=0 5x -44+59=0 5x+15=0 X= = -3 B (-3,4) Verificación por suma y resta 5x -11y +59 =0 4x- y - 23 =0 20x -44 y -236 = 0 -20x +5y +115= 0 -39y -121=0 -39y= 121 y=-3 5x-11y+59 5x -33+59 5x =25 X= 5 C (5,-3) 8…A (7,9) B(-6,4) C(5,-7) Gráfico 11 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 4-9)^2+(-6-7)^2 ) D AB =√((5)^2+(-13)^2 ) D AB =√(25+169) D AB = √194 D AB = 13.93 Distancia entre puntos BC D BC =√(( -7-4)^2+(5+6)^2 ) D BC =√((- 11)^2+(11)^2 ) D BC =√((121+121) D BC = √242 D BC = 15.56 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -7-9)^2+(5-7)^2 ) D AC =√(( -16)^2+(-2)^2 ) D AC =√(256+4) D AC = √260 D AC = 16.12 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 45.61 SEMI PERÍMETRO = 22.81 Área por Herón = √(22.81 (22.81 -13.93)(22.81 -15.56)(22.81 -16.12)) = 99.12 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(7&9@-6&4)| |■(5&-7@7&9)| = 1/2 (28+42+45 +54-20+49) = 198/2 =99 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (4-9)/(6-7) = (-5)/(-13) = 5/13= 5/13 = 21° 2´ 15.04 ´´ Pendiente BC m BC = = (-7-4)/(5+6) = (-11)/11 = (-11)/11 -1 = 45° 0´ 0 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-7-9)/(5-7) = (-16)/(-2) = 16/2 =8 = 82° 52 ´ 29.94 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 9) = 5/13 (x- 7) 13y -117 = 5x -35 5x -13y -35+117 =0 5x -13y +82=0 Calculo ecuación de la recta BC (y - 4) = -1 ( x + 6) y-4 = -x -6 -x -y -6+4= 0 -x -y -2 =0 Calculo ecuación de la recta AC (y +7) = 8 ( x -5) Y+7 =8x -40 8x -y -40-7=0 8x -y -47 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((5/13) -(8) )/(1+(5/13)(8) )= ((-99)/13)/(53/13) = (-99)/53 = -61° 50 ´ 14.9 ´´ Tan B = ((5/13) -((-1)/1) )/(1+(5/13)((-1)/1) )= (18/13)/(8/13) = 9/4 = 66° 2 ´ 15.04 ´´ Tan C = / = / = / = 52° 7 ´ 30.06 ´´ Puntos medios De los puntos A (11,8) B(-5,6) C(7,-3) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((7-6 ) )/2= 1/2 =0.5; y= ((9+4) )/2= 13/2 = 6.5 d (0.5,6.5) X= ((-6+5) )/2= (-1)/2 = -0.5; y= ((4-7) )/2= (-3)/2 = -1.5 e (-0.5,-1.5) X= ((7+5) )/2= 12/2 = 6; y= ((9-7) )/2= 2/2 = 1 f( 6,1) Verificaciones, por suma y resta 8x -y -47 =0 -x -y -2 =0 8x - y -47 = 0 -8 x -8y -16 = 0 -9y -63=0 -9y= 63 x=-7 -x –y-2 =0 - 7-y-2=0 -y-9=0 Y=9 A (-7,9) Verificación por suma y resta 8x -y -47 =0 5x -13y+82 =0 104x -13 y -611 = 0 -5x + 13y -82 = 0 99x +693=0 99x= -693 x= 7 5x -13y+82 =0 35-13y +82=0 -13y +117=0 Y=9 B (7,9) Verificación por suma y resta 5x -13y +82 =0 -x –y -2 =0 5x -13 y +82 = 0 -5x -5y -10 = 0 -18y +72=0 -18y= -72 y=4 5x-52+82=0 5x=-30 X= -6 C (-6,4) 9…A (11,8) B(-5,6) C(7,-3) resolver Gráfico 12 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 11+5)^2+(8-6)^2 ) D AB =√((16)^2+(-2)^2 ) D AB =√(256+4) D AB = √260 D AB = 16,12 Distancia entre puntos BC D BC =√(( 7+5)^2+(-3-6)^2 ) D BC =√(( 12)^2+(-9)^2 ) D BC =√(( 144+81) D BC = √225 D BC = 15 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -7-11)^2+(-3-8)^2 ) D AC =√(( -4)^2+(-11)^2 ) D AC =√(16+121) D AC = √137 D AC = 11,70 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 42.82 SEMI PERÍMETRO = 21.41 Área por Herón = √(21.41 (21.41 -16.12)(21.41 -15)(21.41 -11.70)) = 84 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(11&8@-5&6)| |■(7&-3@11&8)| = 1/2 (66+15+56 +40-42+33) = 168/2 =84 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (8-6)/(-4-12) = (-2)/(-16) = 2/16= 1/8 = 7° 7´ 30.06 ´´ Pendiente BC m BC = = (-3-6)/(7+5) = (-9)/12 = (-3)/4 = -36° 52´ 11.63 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-3-8)/(7-11) = (-11)/(-4) = 11/4 = 70° 1 ´ 0.82 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 8) = 1/8 (x- 11) 8y -64 = x -11 x -8y +64 -11 =0 x -8y +53=0 Calculo ecuación de la recta BC ( y - 6) = (-3)/4 ( x + 5) 4x-24 = -3x -15 -3x -4y -15+24= 0 -3x -4y +9 =0 Calculo ecuación de la recta AC ( y +3) = 11/4 ( x -7) 4y+12 = 11x -77 11x -4y -77-12=0 11x -4y +89 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((1/8) -((-3)/4) )/(1+(1/8)((-3)/4) )= (7/8)/(29/32) = 28/29 = 43° 59 ´ 41.69 ´´ Tan B = (((-3)/4) -(11/4) )/(1+((-3)/4)(11/4) )= ((-7)/2)/((-17)/16) = 56/17 = -73° 6 ´ 47.55 ´´ Tan C = / = / = / = 62° 53 ´ 30.76 ´´ Puntos medios De los puntos A (11,8) B(-5,6) C(7,-3) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((11-5 ) )/2= 6/2 =3; y= ((8+6) )/2= 14/2 = 7 d (3,7) X= ((-5+7) )/2= 2/2 = 1; y= ((6-3) )/2= 3/2 = 1.5 e(1,1.5) X= ((11+7) )/2= 18/2 = 9; y= ((8-3) )/2= 5/2 = 2.5 f( 9,2.5) Verificaciones, por suma y resta -x +8y -53 =0 -11x +4y +89 =0 -4x +32 y -212 = 0 88 x -32y -712 = 0 - 84x +924=0 -84x= -924 x=11 -11x +4y+ 89 =0 -11(11) +8y +89=0 121 +8y-53=0 +8y +121-53=0 8y=64 X= 64/8 = 8 A (11,8) Verificación por suma y resta 3x +4y -9 =0 -x +8y -53 =0 3x +4 y -9 = 0 -3x + 24y -159 = 0 28y +168=0 -28y= -168 Y= 6 -x +8y -53 =0 -x +8(6) -53=0 -x -48+53=0 -x+5=0 X= -5 = -5 B (-5,6) Verificación por suma y resta -3x +4y -9 =0 X= (9-4y)/3 11x -4 y -89 = 0 11((9-4y)/3) -4y -89 = 0 99-44y -12y=267 -56y= 168 y=-3 x= (9-4(-3))/3 3x= 9+12 3y=21 X= 7 C (7,-3) 10…A (12,10) B(-5,8) C(4,-5) Gráfico 13 Gráfico de los puntos A, B, C Distancia entre puntos AB D AB = √(( 8-10)^2+(-5-12)^2 ) D AB =√((-2)^2+(-17)^2 ) D AB =√(4+289) D AB = √293 D AB = 17,12 Distancia entre puntos BC D BC =√(( -5-8)^2+(4+5)^2 ) D BC =√(( -13)^2+(9)^2 ) D BC =√(( 169+81) D BC = √250 D BC = 15 .81 Distancia entre puntos AC D AC =√(( -5-10)^2+(4-12)^2 ) D AC =√(( -15)^2+(-8)^2 ) D AC =√(225+64) D AC = √289 D AC = 17 son las distancias ___________________________________________________________ Área por Herón Perímetro: AB+BC+AC = 49.93 SEMI PERÍMETRO = 24.97 Área por Herón = √(24.97 (24.97 -17.12)(24.97 -15.81)(24.97 -17)) = 119.62 son las áreas ____________________________________________________________ DETERMINANTE A |■(12&10@-5&8)| |■(4&-5@12&10)| = 1/2 (96+25+40 +50-32+60) = 239/2 =119.50 Es el área por determinante ____________________________________________________________ PENDIENTES Es el grado de inclinación que tiene la ecuación de la recta numérica Pendiente AB (Shift) (tan) = grados m AB = (8-10)/(-5-12) = (-2)/(-17) = 2/17= 2/17 = 6° 42´ 35.41 ´´ Pendiente BC m BC = = (-5-8)/(4+5) = (-13)/9 = (-13)/9 = -55° 18´ 17.45 ´´ Pendiente AC m AC = = = (-5-10)/(4-12) = (-15)/(-8) = 15/8 = 61° 55 ´ 39.05 ´´ ECUACIÓN DE LA RECTA PRIMER GRADO Formula = ( y_2- y_1)= m ( x_2- x_1 ) Calculo de la ecuación de la recta AB (y - 10) = 2/17 (x- 12) 17y -170 = 2x -24 2x -17y -24+170 =0 -2x +17y -146=0 Calculo ecuación de la recta BC (y - 8) = (-15)/9 (x + 5) 9y-72 = -15x -65 -15x -9y -65+72= 0 -15x +8y +100 =0 Calculo ecuación de la recta AC (y +3) = 13/4 (x -7) 4y+12 = 13x -77 13x -4y -77-12=0 13x +9y -7 = 0 Los ángulos internos Utilizamos las pendientes Tan A = ((mab) -(mbc) )/(1+(mab)(mbc) ) Tan A = ((2/17) -(15/8) )/(1+(2/17)(15/8) )= ((-239)/136)/(83/68) = (-239)/166 = -55° 13 ´ 3.63 ´´ Tan B = ((2/17) -((-13)/9) )/(1+(2/17)((-13)/9) )= (239/153)/(127/153) = 239/127 = 62° 0 ´ 52.86 ´´ Tan C = / = / = / = 62° 46 ´ 3.51 ´´ Puntos medios De los puntos A (11,8) B (-5,6) C(7,-3) X= ((x_1+x_2) )/2= /2 = ; y= ((x_1+x_2) )/2= /2 = X= ((11-5 ) )/2= 6/2 =3; y= ((8+6) )/2= 14/2 = 7 d (3,7) X= ((-5+7) )/2= 2/2 = 1; y= ((6-3) )/2= 3/2 = 1.5 e(1,1.5) X= ((11+7) )/2= 18/2 = 9; y= ((8-3) )/2= 5/2 = 2.5 f( 9,2.5) Verificaciones, por suma y resta -2x +17y -146 =0 13x +9y -7 =0 -26x +221 y -1898 = 0 26 x +18y -14 = 0 +239y -1912=0 239x= 1912 x=8 -2x +136-146 =0 -2x-10=0 -2x=10 X=-5 A (-5,8) Verificación por suma y resta -2x +17y -146 =0 -15x +8y +100 =0 30x -255 y +2190 = 0 -30x + 16y +200 = 0 -239y +2390=0 -239y= -2390 Y= 10 -2x +170-146 =0 -2x +24=0 -2x=-24 X= 12 B (12,10) Verificación por suma y resta -15x +8y +100 =0 13x +9y -7 =0 -195x +104 y +1300 = 0 195x +135y -105 = 0 239y +1195=0 239 y= -1195 y=-5 13x-45-7=0 13x=52 X= 4 C (4,-5)   LOGARITMOS Logaritmos, Ln, e, Logaritmo natural y logaritmo de base SUS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS F(x) = log_a⁡x → f´ (x) = 1/(x.Ln a) log_a⁡x ) ´= 1/(x .Ln a) Y = log_3⁡x → dy/dx = 1/(x.Ln 3) F(x) = log_⁡x → f´(x) = 1/(x.Ln 10 ) F(x) = log_a⁡〖u(x)〗= → f´( x)= (u´(x))/(u(x).Ln a ) (log_a⁡@)´= (@ ´)/(@ .Ln a ) Y = log_5⁡〖(5x-7)〗 → dy/dx= (4x^3)/((x^4+7).Ln 5 ) Logaritmo → exponente Log_x⁡27 = 3 → x^3=27 Log_4⁡16 = x → 4^x=16 〖 Log〗_2⁡8 = 3 → 2^3=8 Log_x⁡25 = 2 → x^2=25 〖 Log〗_2⁡x = y → 2^y= x 3^x =7 Ln 3^x =Ln 7 propiedad del logaritmo X Ln 3 = ln 7 X= (Ln 7)/(Ln 3) 〖 log〗_2⁡〖(x+3) =3 〗 2^3 = x+3 Ln 2^3 =Ln (x+3) 8 = x+3 5 = x F(x) = 2^x , h(x) = 3^x , g(x) = 〖10〗^x Base es 2, base es 3, base es 10 Exponencial F(x) = e^x , = ln x se lee logaritmo natural de x Logaritmo común log_a⁡1 = 0 , ln 1 = 0, log_⁡1 =0 , log_a⁡a= 1, log⁡10= 1, ln e = 1 log_a⁡a= x, xlog_10⁡〖〖10〗^x=x〗, ln e^x =x, a^log_a⁡x = x , x 〖10〗^log⁡〖x 〗 =x, e^(ln⁡〖x 〗=1 ) log_8⁡〖(x+5)〗= 2/3 8^(2/3)= x-5 ∛(8^2 ) =x-5 ∛64 =x-5 4 = x-5 4+5 = x 9 = x Remplazamos verificación log_8⁡〖(9-5) = 2/3〗 〖 log〗_8⁡〖(4) = 2/3〗 〖 8〗^(2/3 )= 4 ∛64 = 4 4= 4 Logaritmo natural Ejercicio 2 ln (x +3) - ln (x+1) = 3 ln 2 Dos pasa como exponente Tres pasa como exponente Ln (x+3)^2 - Ln (x+1 ) = ln (2 )^3 A/B= ln⁡〖 la diferencia se transforma en division 〗 ÷ ←→ - ln⁡〖(x+3)^2 〗/ln⁡〖( x+1)〗 = ln⁡〖 2^3 〗 〖 ln〗⁡ ⁡〖(x+3)^2 〗/⁡〖( x+1)〗 = ln⁡〖 2^3 〗 ⁡〖(x+3)^2 〗/⁡〖( x+1)〗 = 8 (X+3)^2 = 8 ( x+1) x^2 +6x +9 = 8x +8 x^2 +6x -8x +9 -8 = 0 〖 x〗^2 +2 x +1 = 0 (x+1) (x+1) =0 X= -1 ; x= -1 Verificamos (-1)^2 + 2 ( -1) + 1 = 0 1 -2 +1 = 0 2-2 = 0 0=0 Logaritmo exponente Ejercicio 8^2x ( 1/4 )^(x-2) = 4^(-x) ( 1/2 )^(2-x) (2^3 )^2x ( 2^(-2) )^(x-2) = ( 2^(+2 ) )^(-x) ( 2^(-1) )^(2-x) Son de la misma base 6^6x . 2^(-2x+4) = 2^(-2x) . 2^(-2+x) 〖 2〗^(6x-2x+4) = 2^(-2x-2+x ) 〖 2〗^(4x+4 ) = 2^(-x-2 ) 2=2 4x+4 = -x -2 4x +x = -2 -4 5x = -6 X = - 6/5 → x= 1,2 Verificación 5((-6)/5) = -6 -6 = -6 Ejercicio log⁡〖x^2 〗= log⁡(6-x) x^2 = 6 – x x^2 +x -6 = 0 calcular la cuadrática 〖 (1/2)〗^2 = 1/4 Completamos los cuadrados x^2 +x+ 1/4 -6 + 1/4 = 0 x^2 +x+ 1/4 = 6 - 1/4 ( x+1/2 )^2 = 23/4 x+1/2 = √(23/4) X = 2.40 - 1/2 X= 2.40 -0.5 X= 1.9 Ln e^(x^2 ) = 16 Ln e^x = x 〖 x〗^2 =16 X= ∓ 4 Ln e^16 = 16 6^(〖log⁡〖6 〗〗^4 )=x De la forma a^log_a⁡4 = 4 4= 4 a>0, a es ≠ 1 Potencia 〖 log〗_(1/2)⁡〖∛4= x〗 ( 1/2 )^x = ∛4 ( 1/2 )^x = 4^(1/3) 〖 (2〗^(-1) )^x = ( 2^2 )^(1/3) 〖 2〗^(-x) = 2^(2/3) 2=2 -x = 2/3 X= - 2/3 log⁡〖0,00001 = x〗 〖10〗^x=0.00001 〖10〗^x=-5 log_10⁡〖-5〗=x 〖 10〗^x=-5 Logaritmo de suma y resta Log (7x+1) = 2 log (x+3) - log 2 Log (7x +1) = log (x+3 )^2 - log 2 Log (7x +1) = log ((x+3)^2)/2 2 (7x+1) = ( x+3 )^2 14x +2 = x^2 +6x +9 = x^2 +6x -14x +9 -2 =0 = x^2 -8x +7 =0 = (x-7) ( x-1) =0 X= 7; x= 1 49 -8(7) =-7 49-56=-7 7=7 Log (50)= log⁡〖(x+3)^2 〗/2 Log (50) = log⁡〖(7+3)^2 〗/2 Log (50) = log⁡〖(100)〗/2 Log(50) = log(50) 25^log_5⁡(x-3) -3^log_3⁡(5x) + 〖10〗^log⁡〖 6〗 =0 5^(2 log_5⁡〖(x-3)〗 ) log_a⁡〖b^c 〗=c log_a⁡b 5^log_5⁡〖(x-3)^2 〗 - 3^(log_3⁡〖(5x)^ 〗 + 10^log⁡6 = 0) a^log_a⁡N =N propiedad (x-3)^2-5x+6=0 x^2-6x+9-5x+6 =0 x^2 -11x +15 =0 ( 11/2 )^2 = 121/4 x^2 -11x+121/4= 121/4-15 ( x - 11/2) = √(61/4) X - 11/2 = 3.91 X= 3.91 + 5.5 X= 9.41 (9.41)^2 -11 ( 9.41) = -15 -15= -15 log_2⁡〖. log_3⁡〖(x+2) = 2〗 〗 2^2 = log_3⁡〖(x+2)〗 4 = log_3⁡〖(x+2) 〗 log_3⁡〖(x+2) = 4〗 〖 3〗^4 = (x+2) 81-2= x 79 = x (log_x⁡〖9 )^2 〗 - 4 log_x⁡9 + 4 = 0 log_x⁡9 = m m^2 -4 m +4 = 0 (m−2) (m-2) =0 m=2; m=2 2^2-4(2)+4= 0 4−8+4=0; 0=0 Log_b⁡〖b^x 〗=x log_4⁡〖4^6 〗 =6 Log_3⁡〖〖243〗^1 〗=x log_3⁡〖3^5 〗 = 5 log_√3⁡〖(3 . √(5&9)〗) = log_(〖(3)〗^(1/2) )⁡〖 (3 √(5&3^2 )〗 ) = log_(〖(3)〗^(1/2) )⁡〖 (3^1 〗 .3^(2/5) ) = log_(〖(3)〗^(1/2) )⁡〖 (3^(7/5) 〗) = (7/5)/(1/2)= 14/5= 2.8 log_3⁡〖(2x-1) 〗 - log_3⁡(5x+2) = log_3⁡(x-2) - 2 log_3⁡〖(2x-1) 〗 - log_3⁡(5x+2) - log_3⁡(x-2) = - 2 log_3⁡〖(2x-1) 〗 - [〖 log〗_3⁡(5x+2)+ log_3⁡(x-2) ] = - 2 log_a⁡〖N.M〗 = log_a⁡N + log_a⁡M log_3⁡〖(2x-1) 〗 -log_3⁡ [⁡(5x+2)+ ⁡(x-2) ] = - 2 log_3⁡〖(2x-1) 〗 -log_3⁡ [〖5x〗^2-10x+2x-4 ] = - 2 log_3⁡〖(2x-1) 〗 - log_3⁡ [〖5x〗^2-8x-4 ] = - 2 log_a⁡〖P/Q= log_a⁡P 〗- log_a⁡Q = log_3⁡〖((2x-1))/((〖5x〗^2-8x +4 ))〗 = -2 3^(-2) = (2x-1)/(5x^2 8x+4) 1/9= (2x-1)/(5x^2 8x+4 ) (1( 5x^2 8x+4)= 9( 2x-1))/ 5x^2 8x+4=18x-9 5x^2- 8x-18x +4 +9 =0 5x^2- 26x+5=0 a x^2-b x+c 5x^2-26x+5 =0 . 1/5 (5x^2)/5 - 26/5 x + 5/5 = 0 x^2 -26/5 x+1=0 (x-5) (x- 1/5 ) = 0 X=5 x^2 - 1/5 x - 5x +1 = 0 〖 x〗^2 (- x-25x )/5+1= 0 x^2 -26/5 x+1=0 25 -26 +1=0 -1+1 =0 Logaritmo de Base, argumento, exponente 〖 log〗_((5X-1))⁡〖(8X+3)〗 = 2 (5x -1 )^2 = (8x +3) 25 x^2 – 10 x + 1 = 8x +3 25 x^2 – 10 x + 1 - 8x – 3 =0 25 x^2 – 18 x + 4 = 0 (25 x^2)/25 - (18x )/25 + 4/25 =0 x^2- (18x )/25 + 4/25 =0 18/(2(25)) =18/50=( 9/25 )^2 = 81/625 x^2 - (18x )/25+ 81/625 = + 81/625 - 4/25 (Falcon Santana, 2014, pág. 116) (x- 9/25 )^2 =( 19/625) X - 9/25 = 3/25 X = 3/25 + 9/25 X= 12/25 = 0. 48 Base de logaritmo 〖 log〗_((3/4 X-1))⁡〖(2X+3)〗 = 2 (4x -1 )^2 = (2x +3 ) 16 x^2 – 8 x + 1 = 2 x +3 16 x^2 – 8 x + 1 - 2x – 3 =0 16 x^2 – 10 x - 2 = 0 (16 x^2)/16 - (10x )/16 - 2/16 =0 x^2- (5x )/8 - 1/8 =0 5/(2(8)) =5/16=( 5/16 )^2 = 25/256 x^2 - (10x )/16+ 5/256 = + 5/256 + 1/8 (x- 5/16 )^2 =( 57/256) X - 5/16 = √57/16 X = √57/16 + 5/16 X= (5+ √57)/16 = 0. 78 log_((3X-5/2))⁡〖(4/3 X+3)〗 = 2 (3 x - 5/2 )^2 = (4/3x +3 ) 9 x^2 – 5 x + 25/4 = 4/3 x +3 9 x^2 – 5 x + 25/4 - 4/3x – 3 =0 9 x^2 – 19/3 x - 13/4 = 0 (9 x^2)/9 - (19x )/9 - 13/9 =0 x^2- (19x )/9 - 13/9 =0 19/(2(9)) =19/18=( 19/18 )^2 = 361/324 x^2 - (10x )/16+ 361/324 = + 361/324 + 13/9 (x- 19/18 )^2 =( 829/324) X - 19/18 = √829/18 X = √829/18 + 19/18 X= (19+ √829)/18 = 2.66 log_(( 15/13 X-4/3))⁡〖(7/3 X+4/5)〗 = 2 (15/13 x - 4/3 )^2 = (7/3x +4/5 ) 225/2169 x^2 – 40/13 x + 16/9 = 7/3 x +4/5 225/2169 x^2 – 40/13 x + 16/9 - 7/3x – 5/4 =0 225/2169 x^2 – 211/39 x - 19/36 = 0 (225/269 x^2)/(225/2169) - (211/39 x )/(225/2169) - (19/36)/(225/2169) =0 x^2- (50651x )/975 - 4579/900 =0 50651/(2(975)) =50651/1950=( 50651/1950 )^2 = 2565523801/3802500 x^2 - (50651x )/975+ 2565523801/3802500 = + 2565523801/3802500 + 4579/900 (x- 50651/1950 )^2 =679.78 X - 50651/1950 = 26.07 X = 26.07 + 50651/1950 X= 52.05 Deber log_(( 1185/115 X-44/3))⁡〖(57/3 X+44/5)〗 = 2 log_(( 1885/115 X-4/3))⁡〖(11/3 X+5/5)〗 = 2 log_(( 1985/115 X-44/3))⁡〖(7/3 X+6/5)〗 = 2 log_(( 14185/115 X-44/3))⁡〖(8/3 X+47/5)〗 = 2 log_(( 115585/115 X-44/3))⁡〖(9/3 X+48/5)〗 = 2 log_(( 11785/115 X-44/3))⁡〖(10/3 X+49/5)〗 = 2   Limites Límite matemático En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En cálculo, Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim┬(x →0)⁡a como en lim┬(x →0)⁡a = a o se representa mediante la flecha (→) como en tiende a → a. La Indeterminación es cuando es 0,- + ∞, 0/0 , Artículo principal: Límite de una sucesión La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a . Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como: 〖lim⁡〖 〗〗┬(x →0)⁡〖a_(n=L) 〗 si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N, se acerquen a L cuando n crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta: Grafico 14 Límite de la función cuando x tiende a cero Si graficamos el vector (√2,2)0 el punto (1.41, 2) Tenemos números superior (1.42, 2.001) Números Inferiores (1.40, 1.999) Límite de una función Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite. Artículo principal: Límite de una función En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c punto de acumulación, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos. Grafico 15 Grafico del incremento en (x) y el incremento en (y) Límite El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando n toma valores muy grandes. 1 Se representa mediante, y se lee límite cuando n tiende a más infinito de a sub n.1 Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia, una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente. (Camacho, Calculo Diferencial, 2012, págs. 147-162) La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (véase sucesión de Cauchy). Graficamos lim┬(x→3)⁡〖x^2+3=〗f(x) Grafico 16 Gráfico de la función f(x) = x^2+3 〖 a) lim〗┬(x →3)⁡〖 (x+2)/(x-3)〗 Grafico 17 Gráfico de la función a) Si x = 3.0001 〖 lim〗┬(x →3)⁡〖 (3.0001 +2)/(3.0001-3)〗 = ⁡〖 5.0001/0.0001〗 = 50001 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖 (0 +2)/(0-3)〗 = ⁡〖 2/(-3)〗= -0.67 lo que está en el gráfico 〖b) lim〗┬(x →2)⁡〖(5-x)/(x-2)〗 Indeterminación = Ind= (5-2)/(2-2) = 3/0 = ∞+ lim┬(x →1.999)⁡〖(5-1.999)/(1.999-2)〗 = 3.0001/(-0.0001) = 3/0 = ∞- lim┬(x →2.0001)⁡〖(5-2.0001)/(2.0001-2)〗 = 2.9999/0.0001 = 3/0 = ∞+ 〖b) lim〗┬(x →2)⁡〖(5-x)/(x-2)〗 = Ind= (5-2)/(2-2) = 2/3 = 0.67+ La función f(x) = (5-x)/(x-2) Grafico 18 Gráfico de la función b) 〖c) lim〗┬(x →0)⁡〖(1/(x+2)-1/2)/x〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖(1/2-1/2)/0〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖0/0〗 Indeterminación 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖((x+2)(1)/(2(x+2))-((2)(1))/.)/x〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖((-x+2-2)/(2(x+2).))/x〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖((-x)/(2(x+2).))/(x/1)〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖(-x)/(2x(x+2))〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖(-1)/(2(x+2))〗 Remplazamos 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖(-1)/((2x+4))〗 〖 lim〗┬(x →0)⁡〖(-1)/((2(0)+4))〗 =(-1)/4 = -0.25 Grafico 19 Gráfico de la función c) d) lim┬(x →4)⁡〖(√(1+2x ) -3 )/(√(x-2 )- √2)〗 lim┬(x →4)⁡〖(√(9 ) -3 )/(√(2 )- √2)〗 0/0 = indeterminación Por su conjugada (-3) por (+3) -(√2) por + (√2) lim┬(x →4)⁡〖(√(1+2x ) -3 )/(√(x-2 )- √2)〗 (√(1+2x )+3 )/(√(1+2x )+3) . (√(x-2 )+ √2)/(√(x-2 )+√2) lim┬(x →4)⁡〖((√(1+2x ) )^2 -(3)^2 )/((√(x-2 ) )^2-(√2 )^2 )〗 (√(x-2 )+ √2)/(√(1+2x )+3) lim┬(x →4)⁡〖((1+2x )-9 )/((x-2)-2)〗 (√(x-2 )+ √2)/(√(1+2x )+3) lim┬(x →4)⁡〖(2x-8 )/((x-4))〗 (√(x-2 )+ √2)/(√(1+2x )+3) lim┬(x →4)⁡〖(2(x-4) )/((x-4))〗 (√(x-2 )+ √2)/(√(1+2x )+3) Simplificamos lim┬(x →4)⁡〖(2 )/((1))〗 (√(x-2 )+ √2)/(√(1+2x )+3) Remplazamos 〖lim┬(x →4) 〗⁡〖(2 )/1〗 (√(4-2 )+ √2)/(√(1+2.4 )+3) 〖lim┬(x →4) 〗⁡〖(2 )/1〗 (√(2 )+ √2)/(√(9 )+3) 〖lim┬(x →4) 〗⁡〖(2 )/1〗 (2 √2)/6 〖lim┬(x →4) 〗⁡ (4√2)/6 〖lim┬(x →4) 〗⁡ (2√2)/3 = 0.94 lim┬(x →0)⁡〖cos⁡〖x-1〗/x〗 lim┬(x →0)⁡〖cos⁡〖x-1〗/x* cos⁡〖x+1〗/cos⁡〖x+1〗 〗 〖lim┬(x →0) 〗⁡〖〖cos^2〗⁡〖x-1〗/(x(cos⁡〖x+1〗))〗 〖lim┬(x →0) 〗⁡〖〖sen^2〗⁡x/(x(cos⁡〖x+1〗))〗 〖lim┬(x →0) 〗⁡〖(-sen⁡x)/x〗 〖 lim┬(x →0) 〗⁡〖sen⁡x/((cos⁡〖x+1〗))〗 〖-1 lim┬(x →0) 〗⁡〖sen⁡x/((cos⁡〖x+1〗))〗 = -1 0/2 = -1 (0) = 0 Gráfico 20 Función cos lim┬(x→0)⁡〖(sen x)/x〗=1 Propiedad del limite la función sen (x) /x = 1 Gráfico 21 Función sen Dada La función f(x)= lim┬(x→4)⁡.=(√(1+2x)+3)/(√(x-2)-√2) Grafico 22 Gráfico de la función d) Teoremas lim┬(x →a)⁡〖(u+v-w) =A+B-C〗 lim┬(x →a)⁡〖(uvw) =ABC〗 lim┬(x →a)⁡〖(U/V) =(A/B)〗, SI B no es cero Dividimos para el de mayor exponente. lim┬(x → ∞)⁡〖(4 x^3-3x^2+4)/(5x- x^2-7x^3 )= 〗 lim┬(x → ∞)⁡〖 ((4 x^3-3x^2+4)/x^3 )/((5x- x^2-7x^3)/x^3 )= 〗 lim┬(x → ∞)⁡〖 ((4 x^3)/x^3 -(3x^2)/x^3 +4/x^3 )/(5x/x^3 - x^2/x^3 - (7x^3)/x^3 )= 〗 lim┬(x → ∞)⁡〖 ((4 )/1-3/x+4/x^3 )/(5/x^2 - 1/x- 7/1)= 〗 aplicamos lim┬(x → ∞)⁡〖 ((4 )/1-3/∞+4/∞)/(5/∞^2 - 1/∞- 7/1)= 〗 = (4-∞+∞)/(∞-∞-7) = 4/7 =0.57 lim┬(x →∞ )⁡〖(5x+4)/(2x+4)〗 = Remplazamos ∞ (5∞+4)/(2∞+4 ) = 4/4 = 1 lim┬(x→∞)⁡〖(5x/x+ 4/x)/(2x/x+ 4/x)〗 = lim┬(x→∞)⁡〖(5+ 4/x)/(2+ 4/x)〗 lim┬(x→∞)⁡〖(5+ 4/∞)/(2+ 4/∞)〗 lim┬(x→∞)⁡〖(5+ ∞)/(2+ ∞)〗 = 5/2 = 2.5 lim┬(x→0)⁡〖(4x^2+3x+2)/(x^3+2x-6)〗 = -0.33 lim┬(x→0)⁡〖(4x^2+3x+2)/(x^3+2x-6)〗 = lim┬(x→0)⁡〖((4x^2)/x^3 + 3x/x^3 + 2/x^(3 ) )/(x^3/x^3 + 2x/x^3 - 6/x^(3 ) )〗 = lim┬(x→0)⁡〖(4/x+ 3/x^2 + 2/x^(3 ) )/(1/1+ 2/x^2 - 6/x^(3 ) )〗 = lim┬(x→0)⁡〖(4/0+ 3/0^2 + 2/0^(3 ) )/(1/1+ 2/0^2 - 6/0^(3 ) )〗 = 0 indeterminación lim┬(x→0)⁡〖(4x^2+3x+2)/(x^3+2x-6)〗 =2/(-6) = 1/(-3) = -0.33 lim┬(x →2 )⁡〖7=7 〗 lim┬(x →6)⁡〖x^2 = 6^2 =36〗 lim┬(x → -2)⁡〖x^4 =(-2)^4=16〗 Aplicación de la propiedad del Límite a. lim┬(x →2)⁡(x^2+x) lim┬(x →2)⁡(x^2 ) + lim┬(x →2)⁡(x) 2^2 +2 =6 b. lim┬(x →-1)⁡(x^3-x+1) (-1)^3-(-1)+1 = 1 c. lim┬(x →2)⁡(x+1)(x-3) = lim┬(x →2)⁡(x+1) .lim┬(x →2)⁡(x-3) lim┬(x →2)⁡(x) +lim┬(x →2)⁡(1) . lim┬(x →2)⁡(x)- lim┬(x →2)⁡(3) (2+1) .( 2-3) = 3(-1) = -3 d. lim┬(x →2)⁡(x^3 ) 3 .lim┬(x →2)⁡(x^3 ) 3 ( -2)^3 = -24 Límites de una función polinomial lim┬(x→a)⁡〖f(x)= f (a)〗 F es la función polinomial si x tiende a (a) es el valor de la función Si lim┬(x→a)⁡〖f(x) y 〗 lim┬(x→a)⁡〖g(x) y lim┬(x→a)⁡〖h(x) 〗 〗 lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x)) 〗 〖 si┬(x→a) 〗⁡〖lim┬(x→a)⁡〖f(x) 〗/lim┬(x→a)⁡〖g(x) 〗 〗 si g(x) ≠0 Esto es límite de un cociente si x no es 0 lim┬(x→a)⁡〖√(n&f(x)) 〗 lim┬(x→a)⁡〖√(n&lim┬(x →a)⁡〖f(x)〗 ) 〗 Aplicación lim┬(x→1)⁡〖(2x^2+x-3)/(x^3+4) 〗 lim┬(x→1)⁡〖(2+1-3)/(1+4) 〗 = ( 0)/5 = 0 lim┬(x→a)⁡〖√(n&lim┬(x →a)⁡〖f(x)〗 ) 〗 lim┬(x →4)⁡√(2&x^2+1) lim┬(x →4)⁡√(2&16+1) lim┬(x →4)⁡√(2&17) = 4.12 lim┬(x →3)⁡∛(x^2+7) lim┬(x →3)⁡∛(9+7) lim┬(x →4)⁡∛16 ∛16 = ∛8.2 = 2∛2 = 2.52 lim┬(x →-1)⁡〖(x^2-1)/(x+1)〗 lim┬(x →-1)⁡〖((x+1)(x-1))/(x+1)〗 lim┬(x →-1)⁡〖((x-1))/1〗 lim┬(x →-1)⁡〖(x-1)〗 = -1-1 = -2 lim┬(x →1)⁡〖((x^3-1))/(x-1)〗 lim┬(x →1)⁡〖((x-1)(x^2+x+1))/((x-1))〗 lim┬(x →1)⁡( x^2+x+1) = 1^2+1+1 =3 0/0 lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗 lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗 = lim┬(h→0)⁡〖([(x+h)^2+1]-[〖(x〗^2+1)])/h〗 si h≠0 lim┬(h→0)⁡〖(x^2+2xh+h^2+1 -x^2-1)/h〗 lim┬(h→0)⁡〖(2xh+h^2)/h〗 lim┬(h→0)⁡〖(h(2x+h))/h〗 lim┬(h→0)⁡〖(2x+h)/h〗 = 2x Si lim┬(x→0)⁡〖((1+x)^(1/x))/1〗 lim┬(x→0)⁡〖((1+x)^(1/x))/1〗 = e Gráfico 23 Función f(x) lim┬(x →1)⁡〖(x^2-x-1)/(x-1)〗 lim┬(x→1)⁡〖((x-1)(x+1))/((x-1))〗 lim┬(x→1)⁡〖(x+1)〗 = 1+1=2 Gráfico 24 Función f(x) lim┬(x→2)⁡〖(x^2-4)/(x+2)〗 lim┬(x→2)⁡〖((x+2)(x-2))/(x+2)〗 lim┬(x→2)⁡〖(x-2)〗 = 2-2 = 0 Gráfico 25 lim┬(x→0)⁡〖(e^x-1)/x〗 0/0 indefinido Gráfico 26 lim┬(x→-1)⁡〖(√(1+x)-1)/x〗 lim┬(x→-1)⁡█((1+x)^(1/2)-1@x) lim┬(x→-1)⁡〖(1(1+x)/2-1)/x〗 =1 Gráfico 27 lim┬(x→15)⁡√(x+3) √(15+3) √18 =4.24 Gráfico 28 lim┬(x→4)⁡〖(x^4-81)/(x^2-x-6)〗 lim┬(x→4)⁡〖(16-81)/(16-4-6)〗 lim┬(x→4)⁡〖(-65)/6〗 =-4.83 lim┬(x→4)⁡〖((x^2-9)(x^2+9))/((x-2)(x-3))〗 lim┬(x→4)⁡〖((x-3)(x+3)(x^2+9))/((x-2)(x+3))〗 lim┬(x→4)⁡〖((x-3)(x^2+9))/((x-2))〗 =29.17 Gráfico 29 lim┬(x→0)⁡〖1/x^2 〗 0 =∞ Gráfico 30 lim┬(x→3)⁡√(x-3) lim┬(x→3)⁡〖(x-3)^(1/2) 〗 =0 Gráfico 31 lim┬(x→2)⁡〖(4x^2+5)/(2x^2+1)〗 lim┬(x→2)⁡〖((4x^2+5)/x^2 )/((2x^2+1)/x^2 )〗 lim┬(x→2)⁡〖(4+5/x^2 )/(2+1/x^2 )〗 =(4+5(/4))/(2+2/4) = 5.25/2.25 =2.33 Gráfico 32 lim┬(x→0)⁡〖(tan^2 x)/x〗 lim┬(x→0)⁡〖(tan^2 0)/0〗 0/0 lim┬(x→0)⁡〖((sen^2 x)/(cos^2 x) )/x〗 lim┬(x→0)⁡〖(sen^2)/(cos^2 )〗 =(sen x . senx )/(cos^2 x) =lim┬(x→0)⁡〖senx/(cos^2 x) lim┬(x→0)⁡〖(sen x)/x〗 〗 = lim┬(x→0)⁡〖senx/(cos^2 x) 1〗 =lim┬(x→0)⁡〖( 1)/(cos^2 x) 〗 lim┬(x→0)⁡〖sen x 〗 lim┬(x→0)⁡〖senx/x〗 = 1 0 1 =0 Gráfico 33   Derivada Es una función que mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemáticamente. Según cambia su variable independiente, la derivada de la función f(x es el límite de la rapidez en función del intervalo, cuando el intervalo considerado variable es pequeño (Camacho, Calculo Diferencial, 2012, págs. 230-239) Gráfico 34 La sumatoria de la función f(x) La integral definida de (a) a (b) La derivada sigue al movimiento de la curva en se lee f de la función f de (x) del diferencial (x) el mismo que viene de la sumatoria de n número de veces y k (contante) = 1 si la función f(x) constante más la f(x) Grafico 35 Curva de la función f(x) Grafico 36 Gráfico del punto que se desplaza en la curva es la derivada ∑_(k=1)^n▒(f(xk-1)+f(xk))/2 I=∫_a^b▒f(x)dx F(x) = -x^2+6x-5 F´(a) = lim┬(x →a)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗 F´(2) = lim┬(x →2)⁡〖(f(-x^2+6x-5)-f(2))/(x-2)〗 F´(x) = (-x^2+6x-5) F´(2) = lim┬(x →2)⁡〖(f(-x^2+6x-5)-3)/(x-2)〗 F´(2) = lim┬(x →2)⁡〖(- 2^2+6(2)-5-3)/(2-2)〗 = (-4+12-8)/0 = 0/0 indeterminación Función f(x) Función derivada 1 Sen x Cos x 2 Cos x Sen x 3 Tan x Sec^2 x 4 Cotan x -csc^2 x 5 Sec x Sec x tan x 6 Csc x -csc x cotan x Y= F(x) = 〖3x〗^2 Y´= 6x^1 derivada se lee y prima =3*2 a^(n-1)= 6x Formula Y =f(x) = 36x^5 Y´= 180 x^4 Y´´ = 720 x^3 Y´´´= 2160 x^2 Y´´´´ = 4320 x^1 F(x) = 6 x^4 F(x) = 24 x^3 F(x) = 72 x^2 F(x) = 144 x^1 F(x) = 12/x^3 1/a^n = a^(n-1) F(x) = 12 x^(-3) F(x) = 12(-3) (x)^(-3-1) F(x)´ = -36 x^(-4) F(x) ´´ = -36(-4) x^(-5) F(x) ´´= 144 x^(-5) F(x)´´´= -720 x^(-6) Y=5/√(x^4 ) Y=5/x^(4/3) Y= 5 x^(-4/3) Y= 5 (-4/3) x^(-7/3) Y= (-20)/3 x^(-7/3) Y´= 140/9 x^(-10/3) Y´´= (-1400)/27 x^(-13/3) Y´´´´= 18200/81 x^(-16/3) F(x) = 3x^2-5x+1 Definición de la derivada F(X) = lim┬(∆X →0)⁡〖(F(X+∆X)-F(X) )/∆X〗 Cambio por la h F´(x) = lim┬(h →0)⁡〖(F(X+h)-F(X) )/h〗 Función original F(x) = 3x^2-5x+1 F(x+h) = 3〖(x+h)〗^2-5(x+h)+1 F(x+h) = 3〖(x^2+2xh+h〗^2) -5x-5h +1 F(x+h) = 3x^2+6xh+3h^2 -5x-5h +1 F(x+h) = lim┬(h→0)⁡〖((3x^2+6xh+3h^2-5x-5h+1-3x^2+5x-1)/h〗 F(x+h) = lim┬(h→0)⁡〖(6xh+3h^2-5h)/h〗 Se evalúa el lim┬(h→0)= 0/0 es la indeterminación Factor común F(x+h) = lim┬(h→0)⁡〖h(6x+3h-5)/h〗 F(x+h) = lim┬(h→0)⁡〖((6x+3h-5))/1〗 F(x+h) = lim┬(h→0)⁡〖 6x -5〗 Derivada es F´(x) = 6x-5 respuesta F(x) = 〖5x〗^2- 〖7x〗^3 F(x) = lim┬(∆X →0)⁡〖(F(X+∆X)-F(X) )/∆X〗 F(x) = 5(x+∆x)^2-7 (x+∆x)^3 evaluando la función (a+b)^2= a^2+2ab+b^2 (a+b)^3= a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 F(x+∆x) = 5(x^2+2x(∆x)+(∆x)^2-7 (x^3+3x^2 ∆x+3x (∆x )^2+(3x)^3 F(x+∆x) = 5x^2+10x(∆x)+5(∆x)^2-7 x^3-21x^2 ∆x-21x (∆x )^2-7(∆x)^3 F(x+∆x) = 5x^2+10x(∆x)+5(∆x)^2-7 x^3-21x^2 ∆x-21x (∆x )^2-7(∆x)^3 F(x+∆x) = 10x(∆x)+5(∆x)^2-21x^2 ∆x-21x (∆x )^2-7(∆x)^3 F(x) = lim┬(∆X →0)⁡〖(10 x (∆x)+5 (∆x)^2 -21 x^2 (∆x) -21 x (∆x)^2-7 (∆x)^3 )/∆X〗 F(x) = lim┬(∆X →0)⁡〖(∆x( 10 x +5 (∆x) -21 x^2 -21 x (∆x)-7 (∆x)^2 )/∆X〗 F(x) = lim┬(∆X →0)⁡〖 10 x +5 (∆x) -21 x^2 -21 x (∆x)-7 (∆x)^2 〗 F´(x) = 10x -21 x^2 F(x) = f´(x) Función = Derivada Sen x = Cos x Cos x = -Sen x Tan x = Sec^2 x Cot c = Sec^2 x Sec x = Sec x . Tan x Csc x = -Csc x .Cot x Sen (u) = Cos u(x) .u´(x) Cos (u) = - Sen u(x) .u´(x) Tan (u) = Sec^2 u(x) .u´(x) Cot (u) = -Csc u(x) .u´(x) Sec (u) = Sec u(x) .tan u(x) .u´(x) Csc (u) = -Csc u(x). Cot (u) .u´(x) F(x) = Sen x . Cos x (a+b)´= a´b + a b´ F(x) = Cos x . Cos x + Sen x (-Sen x ) F(x)= Cos^2 x-Sen^2 x derivada Y = F(x) = Tan (5x^2) Utilizamos la regla de la cadena Tan ∂^2 = Sec^2 ∂ .∂´ ∂= 〖5x〗^2 dy/dx = Sec^2 (〖5x〗^2) ( 10x) dy/dx = (10x) Sec^2 (〖5x〗^2) G(x) = (Cot x )/x [a/b]´ = (a´b -a b´)/b^2 G´(x) = (-Csc x (x) - Cot (x) (1))/x^2 G´(x) = (- (x) Csc^2 x - Cot (x) )/x^2 Y= Sec (8x^3+1) Tan ∂^2 = Sec^2 ∂ .∂´ ∂=(8x^3+1) dy/dx = Sec^2 (8x^3+1) Tan (8x^3+1) (24x^2) dy/dx = (24x^2) Sec (8x^3+1) Tan (8x^3+1) Integrales de superficie Artículo principal: Integral de superficie La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie. Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann. El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica del electromagnetismo. Integrales de formas diferenciales Cálculo de integrales Artículo principal: Métodos de integración La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma: 1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b]. • Integración por cambio de variable • Integración por partes • Integración por sustitución trigonométrica • Integración de fracciones parciales Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, de Gauss. Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o la integración por capas. Valor medio de una función Para calcular el valor medio m de una función f en un intervalo [a, b] se usa la siguiente fórmula: Nótese que, si la función f es una función escalonada con escalones de igual anchura, esta definición coincide con la media aritmética de los valores de la función. Si los escalones tienen anchuras diferentes, entonces coincide con la media aritmética ponderada donde el valor de la función en cada escalón se pondera con la anchura del escalón. Por lo tanto, esta definición se puede entender como la extensión natural de la media. Aplicaciones en física y se calcula con la integral: El resultado de esta integral Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales: Integral por áreas La función f (x) nos dice que debe ser evaluado de (a) menos (b) lo cual nos dice que la resta de diferentes rectángulos nos da el resultado. Se suman los exponentes y se divide para la suma del exponente (n+1) Aplicamos la formula Ejemplo F(x) = ∫_a^b▒dx x^(n+1)/(n+1) Ejemplo 1 Para la integral definida se lee La integral de (a) menos (b) de 5 x^2 del diferencial de dx ∫_(-x)^x▒〖x dx〗 F(x) = ∫_5^1▒〖5x〗^2 dx = 〖5x〗^(2+1)/(2+1) = 〖5x〗^3/3 = (5(5)^3)/3 - (5(1)^3)/3 = 208.33 – 1.67 = 206.66 Gráfico 37 Gráfico de la función (a) Ejemplo 2 ∫_(-x)^x▒〖x dx〗 ∫_3^2▒〖( 8x^4+ 〖7x〗^3 ) dx〗 (8x^(4+1))/(4+1)+ (7x^(3+1))/(3+1) (8x^5)/5+ (7x^4)/4 [(8〖(3)〗^5)/5+ (7〖(3)〗^4)/4]- [(8〖(2)〗^5)/5+ (7〖(2)〗^4)/4] [388.80+141.75]- [51.20+28] =[530.55]- [79.20] = [451.35] 〖unidades 〗^2 Gráfico 38 La función (2) Ejemplo 3 ∫_(-x)^x▒〖x dx〗 ∫_(-1)^3▒( 〖5x〗^4+ 〖3x〗^3+6 )dx (5x^(4+1))/(4+1) + (3 x^(3+1))/(3+1) +6x (5x^5)/5 + (3 x^4)/4 +6x x^5/1 + (3 x^4)/4 +6x [3^5/1+ (3(3)^4)/( 4)+6(3)]- [〖(-1)〗^5/1+ (3(-1)^4)/( 4)+6(-1)] [243+ 243/4+18]- [-1-3/4-6] [1287/4]- [(-31)/4] = [329.50] 〖unidades〗^2 Gráfico 39 Gráfico de la función (3) ∫_(-x)^x▒〖x dx〗 ∫_4^9▒〖( ((√x+3)^2)/(2 √x)〗) dx = ((√x+3)^2)/(2 √x) dx (a+b)^2= a^2+2ab+b^2 ((〖√x)〗^2+2 (√x)(3)+(3)^2)/(2 √x) (x+6√x+9)/(2 √x) x/(2 √x)+ (6 √x)/(2 √x)+ 9/(2 √x) x/(2 (x)^(1/2) )+ 3+ 9/(2 (x)^(1/2) ) x^(1/2)/(2 )+ 3+ (9x^(-1/2))/(2 ) = ∫_4^9▒〖( 1/2 〗 x^(1/2)+3+ (9x^(-1/2))/(2 ))dx = 1/2 x^(3/2)/(3/2) +3 x + 9/2 (2x^(1/2))/(1/2) = 1/2 (2 x^(3/2))/3 +3 x + 9/2 (2 x^(1/2))/1 = ( x^(3/2))/3 +3 x + 9 x^(1/2) x^(m/n)= √(n&x^m ) x^(3/2)= √(2&x^3 ) = √(2&x^2 ) √x = x √x = (x √x)/3 +3x + 9 √x   =[(9 √9)/3+3(9)+9 (√9)]- [(4 √4)/3+3(4)+9 (√4)] = [9+27+27 ]- [8/3+12+18 ] = [63 ]-[8/3+30 ] = 63 -8/3 +30 =33 - 8/3 =91/3 =30.33 u^2= unidades cuadradas ∫_2^5▒〖(x-2)/√(x-1) dx〗 = (x-2 )/√(x-1) dx sustitución R = x-1 dR/dx = 1 dx = dR x= R+1 = ∫_2^5▒〖(x-2 )/√(x-1) dx〗 = ∫_2^5▒〖(x-2 )/√R dR〗 = ∫_2^5▒〖( R+1-2 )/√R dR〗 = ∫_2^5▒〖( R+1-2 )/R^(1/2) dR〗 = ∫_2^5▒〖( R )/R^(1/2) - 1/R^(1/2) dR〗 = ∫_2^5▒〖 R^(1/2) -R^(-1/2) dR〗 ∫▒〖R^n dR〗 = R^(n+1)/(n+1) =+c si (n ≠ -1)  = R^(3/2)/(3/2) - R^(1/2)/(1/2) +c = 〖2 R〗^(3/2)/3 - 〖2 R〗^(1/2)/1 +c √(n&R^m ) = R^(m/n) √(2&R^3 ) = √(2&R^2 ) √R = R √x = (2 √(R^3 ))/3 - (2 √R)/3 + c   = (2R √R)/3 - 2 √R + c = remplazando = (2 (x-1) √(x-1))/3 – 2 √(x-1) +c = (2 (x-1) √(x-1))/3 – 2 √(x-1) +c = [(2 (5-1) √(5-1))/3 – 2 √(5-1)]- [(2 (2-1) √(2-1))/3 – 2 √(2-1)] = [8(2)/3 – 2 (2)]- [(2 (1)1)/3 – 2 (1)] = [16/3 -4 ]- [(2 )/3 – 2 ] = [4/3 ]- [(-4 )/3 ] = 8/3 =2.67 u^2 = unidades cuadradas ∫▒dx ∫▒〖( √(2&4- x^2 ) dx 〗 = √(2&2^2 - x^2 ) = 2 - x = H^2 - c^2 = si = Cos θ= √(4- x^2 )/2 = √(4- x^2 ) = 2 Cos θ = Sen θ = x/2 = = x= 2 Sen θ = diferencial = dx/dθ = 2 Cos θ = dx = ( 2 Cos θ ) d θ = remplazamos = ∫▒〖2 Cos θ〗 .2 Cos θ d θ = ∫▒〖4 Cos^2 θ dθ〗 remplazamos Cos^2= (1+Cos 2θ)/2 = ∫▒〖4 (1+Cos 2 θ)/2 dθ〗 = ∫▒〖2 1+Cos 2 θ dθ〗 = 2 ∫▒〖(1+Cos 2 θ) d θ〗 = 2 [∫▒dθ+ ∫▒〖Cos 2 θ d θ〗] = 2 ( θ+ 1/2 Sen (2θ)) +c = ∫▒█(cos⁡(kθ) dθ= 1/k sen (kθ)por sustitución @trigonometrica ) = sen (2θ)= 2 sen θ-cos⁡θ = 2[θ + 1/2 2 senθ cos⁡θ ]+c = 2[θ + 1 senθ cos⁡θ ]+c = ∫▒〖4 Cos^2 θ〗 dθ = = si sen θ= x/2 = θ= Se n^(-1) (x/2) = arc Sen = (x/2) = Cos θ = √(4- x^2 )/2 remplazando sería =2 [arc Sen (x/2)+ (x/2) √(4- x^2 )/2]+c = 2 [arc Sen (x/2)+ (x/1) √(4- x^2 )/2]+c ∫▒dx ∫▒√(25-16 x^2 )/x Dx Si Cos θ = √(25-16 x^2 )/5 √(25-16 x^2 )=5 Cos θ Sen θ = 4x/( 5) 5 Sen θ = 4x 5/4 Sen θ= x = dx/dθ = 5/4 Cos θ = dx = 5/4 Cos θ d θ = ∫▒〖 (5 cos⁡〖 θ〗)/((5 Sen θ)/4)〗 . 5/4 Cos θ dθ = ∫▒〖 ((5 Cos θ)/1)/((5 Sen θ)/4)〗 . 5/4 Cos θ dθ = ∫▒〖 ((5.4 Cos θ)/1)/(5 Sen θ)〗 . 5/4 Cos θ dθ = ∫▒〖 (5 Cos^2 θ)/(Sen θ)〗 . dθ = 5 ∫▒〖 ( Cos^2 θ)/(Sen θ)〗 . dθ = 5 ∫▒〖 (1- Sen^2 θ)/(Sen θ)〗 . dθ Sen^2 θ+Cos^2 θ=1 Cos^2= 1-Sen^2 θ = 5 ∫▒〖 1/(Sen θ)〗 - (Sen^2 θ)/(Sen θ) d θ = 5 ∫▒〖〖(csc〗⁡θ- Sen θ) dθ〗 = 5 ∫▒〖csc⁡〖θ dθ〗 - ∫▒〖Sen θ〗 dθ〗 = 5 [-Ln (csc⁡〖θ+cot⁡θ 〗 ]- [-cos⁡θ ] +c = 5 [-Ln (csc⁡〖θ+cot⁡θ 〗 ]+[cos⁡θ ] +c = -5 Ln (Cscθ +cot θ)+5 Cos θ+c = -5 Ln ( 1/(Sen θ) + Cosθ/Senθ ) +5 Cos θ +c = razón trigonométrica = -5 Ln ((1+ √(25-16x^2 ))/5)/(4x/5) + 5 √(25-16 x^2 )/5 +c = -5 Ln (5/5+( √(25-16x^2 ))/5)/(4x/5) + 5 √(25-16 x^2 )/5 +c = -5 Ln ((5+ √(25-16x^2 ))/5)/(4x/5) + 5 √(25-16 x^2 )/5 +c = -5 Ln (5+ √(25-16x^2 ))/4x + √(25-16 x^2 ) +c Índice Raúl Pavlov Galora De Mora 2 Ejercicio completo 2 Introducción 3 1…A (12,9) B (-4,3) C (8,-5) 5 2… A (12,10) B (-4,4) C (8,-6) 11 Ejercicio 14 3…A (10,8) B(-5,6) C(8,-6) 14 4…A(11,8) B(-5,6) C(7,-2) 19 5…A (10,8) B(-5 ,6) C(7,-3) 23 27 6…A(10,11) B(-5.25 ,6.25) C(8,-12) 28 32 7…A (8,9) B(-3,4) C(5,-3) 33 36 8…A (7,9) B(-6,4) C(5,-7) 38 41 9…A (11,8) B(-5,6) C(7,-3) resolver 42 45 10…A (12,10) B(-5,8) C(4,-5) 47 50 LOGARITMOS 52 Logaritmo natural 55 Logaritmo exponente 56 Logaritmo de suma y resta 58 Logaritmo de Base, argumento, exponente 62 Base de logaritmo 62 Deber 64 Limites 66 Límite matemático 66 Artículo principal: Límite de una sucesión 66 Límite de una función 67 Derivada 88 Integrales de superficie 94 Cálculo de integrales 94 Integral por áreas 95 Bibliografía 109   Bibliografía Ayres, F. 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